数学第一章：认识数学符号⑥-统计与概率符号

一、 基础概念符号

核心用于描述概率的基本要素（样本空间、事件、概率运算），是概率理论的基础。

符号	数学意义	实用举例	读音（中文+英文常用念法）
\Omega（Omega）	样本空间（随机试验所有可能结果的集合）	掷骰子试验：\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}；抛硬币：\Omega=\{\text{正面},\text{反面}\}	中文：样本空间Ω（ōu mì gǎ）英文：sample space / Omega
A, B, C	随机事件（样本空间的子集，可判断发生与否）	掷骰子“出现偶数”：A=\{2,4,6\}；“出现质数”：B=\{2,3,5\}	中文：事件A、事件B英文：event A, event B
\emptyset	不可能事件（不含任何结果的事件，概率为0）	掷骰子“出现7”：\emptyset；P(\emptyset)=0	中文：不可能事件（空集）英文：impossible event / empty set
\Omega（全集）	必然事件（包含所有结果的事件，概率为1）	掷骰子“出现1-6中的数”：\Omega；P(\Omega)=1	中文：必然事件英文：certain event / universal set
A\cup B	事件A与B的并（A或B至少一个发生）	A=\{2,4,6\}, B=\{2,3,5\}，则A\cup B=\{2,3,4,5,6\}	中文：A并B英文：union of A and B
A\cap B（或AB）	事件A与B的交（A和B同时发生）	如上，A\cap B=\{2\}（既偶数又质数）	中文：A交B英文：intersection of A and B
\overline{A}（或A^c）	事件A的对立事件（A不发生）	A=\{2,4,6\}，则\overline{A}=\{1,3,5\}（出现奇数）	中文：A的对立事件英文：complement of A
A\setminus B（或A-B）	事件A与B的差（A发生且B不发生）	如上，A\setminus B=\{4,6\}（偶数但非质数）	中文：A减B英文：difference of A and B
P(A)	事件A的概率（A发生的可能性大小，$0\leq P(A)\leq1$）	掷骰子P(A)=P(\text{偶数})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}	中文：事件A的概率英文：probability of event A
P(A|B)	条件概率（B发生的前提下A发生的概率）	$P(A	B)=\frac{P(AB)}{P(B)}；P(\text{偶数}

二、 随机变量与分布符号

描述随机变量的类型、分布规律及核心参数，是概率应用的核心工具。

符号	数学意义	实用举例	读音（中文+英文常用念法）
X, Y, Z	随机变量（表示随机试验结果的变量，分离散/连续型）	离散型：X=“掷骰子点数”；连续型：Y=“随机抽取的身高（cm）”	中文：随机变量X、随机变量Y英文：random variable X, random variable Y
X\sim F	随机变量X服从分布F（F为分布类型）	X\sim N(\mu,\sigma^2)（服从正态分布）；X\sim B(n,p)（服从二项分布）	中文：X服从F分布英文：X is distributed as F
F(x)	分布函数（F(x)=P(X\leq x)，描述随机变量取值规律）	离散型X（掷骰子）：F(3)=P(X\leq3)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}；连续型Y\sim N(0,1)：F(0)=0.5	中文：分布函数F(x)英文：distribution function / cumulative distribution function (CDF)
p(x)	离散型随机变量的概率质量函数（p(x)=P(X=x)）	X\sim B(2,0.5)（2次抛硬币成功次数）：p(0)=0.25, p(1)=0.5, p(2)=0.25	中文：概率质量函数p(x)英文：probability mass function (PMF)
f(x)	连续型随机变量的概率密度函数（$P(a英文：probability density function (PDF)
B(n,p)	二项分布（n次伯努利试验，成功概率p，记X\sim B(n,p)）	10次抛硬币（正面为成功）：X\sim B(10,0.5)；P(X=5)=\binom{10}{5}(0.5)^{10}	中文：二项分布（n,p）英文：binomial distribution (n,p)
P(\lambda)（或Poisson(\lambda)）	泊松分布（描述稀有事件发生次数，参数\lambda）	某路口日均交通事故数X\sim P(2)；P(X=1)=\frac{2^1e^{-2}}{1!}\approx0.2707	中文：泊松分布（λ）英文：Poisson distribution (lambda)
N(\mu,\sigma^2)	正态分布（高斯分布，参数\mu为均值，\sigma^2为方差）	成年人身高Y\sim N(170, 6^2)；标准正态分布N(0,1)	中文：正态分布（μ,σ²）英文：normal distribution (mu, sigma squared)
U(a,b)	均匀分布（X在区间[a,b]上取值均匀，概率密度恒定）	随机抽取[0,1]内的数：X\sim U(0,1)；f(x)=\frac{1}{b-a}（a\leq x\leq b）	中文：均匀分布（a,b）英文：uniform distribution (a,b)
Exp(\lambda)	指数分布（描述寿命、间隔时间，参数\lambda为率参数）	电子元件寿命T\sim Exp(0.01)；P(T>100)=e^{-0.01\times100}=e^{-1}\approx0.3679	中文：指数分布（λ）英文：exponential distribution (lambda)
\chi^2(k)	卡方分布（k个独立标准正态变量的平方和，自由度k）	拟合优度检验：X^2\sim\chi^2(5)（自由度5）	中文：卡方分布（k）英文：chi-squared distribution (k)
t(k)	t分布（正态变量与卡方变量的比值，自由度k）	小样本均值检验：T\sim t(9)（自由度9）	中文：t分布（k）英文：t-distribution (k)
F(k_1,k_2)	F分布（两个卡方变量的比值，自由度k_1,k_2）	方差齐性检验：F\sim F(5,8)（分子自由度5，分母自由度8）	中文：F分布（k₁,k₂）英文：F-distribution (k1, k2)

三、 数字特征符号

刻画随机变量的核心性质（平均水平、离散程度、关联程度），是统计描述的关键。

符号	数学意义	实用举例	读音（中文+英文常用念法）
E(X)（或\mu_X）	数学期望（均值，随机变量的平均取值）	X\sim B(n,p)，则E(X)=np；X（掷骰子）：E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5	中文：X的数学期望英文：expected value of X / mean
Var(X)（或\sigma_X^2）	方差（刻画随机变量取值的离散程度，Var(X)=E[(X-E(X))^2]）	X\sim B(n,p)，则Var(X)=np(1-p)；X（掷骰子）：Var(X)=\frac{35}{12}\approx2.9167	中文：X的方差英文：variance of X
\sigma(X)（或\sigma_X）	标准差（方差的算术平方根，与随机变量同量纲）	X\sim N(\mu,\sigma^2)，则\sigma(X)=\sigma；掷骰子\sigma(X)=\sqrt{\frac{35}{12}}\approx1.7078	中文：X的标准差英文：standard deviation of X
Cov(X,Y)	协方差（刻画X与Y的线性关联程度，Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]）	独立变量Cov(X,Y)=0；X与$2X：Cov(X,2X)=2Var(X)$	中文：X与Y的协方差英文：covariance between X and Y
\rho(X,Y)（或r_{XY}）	相关系数（标准化协方差，\rho=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}，\rho\in[-1,1]）	\rho=1（完全正相关）；\rho=-1（完全负相关）；\rho=0（无线性相关）	中文：X与Y的相关系数ρ（ròu）英文：correlation coefficient between X and Y
E[g(X)]	随机变量函数g(X)的期望	g(X)=X^2，X（掷骰子）：E[X^2]=\frac{1^2+2^2+\dots+6^2}{6}=\frac{91}{6}\approx15.1667	中文：g(X)的数学期望英文：expected value of g(X)
M_X(t)	矩母函数（生成矩的工具，M_X(t)=E[e^{tX}]）	X\sim N(\mu,\sigma^2)，则M_X(t)=e^{\mu t+\frac{1}{2}\sigma^2 t^2}	中文：X的矩母函数英文：moment generating function of X
k阶原点矩	第k阶原点矩（E[X^k]，k=1时为期望）	一阶原点矩E[X]；二阶原点矩E[X^2]	中文：k阶原点矩英文：k-th moment about the origin
k阶中心矩	第k阶中心矩（E[(X-E(X))^k]，k=2时为方差）	二阶中心矩Var(X)；三阶中心矩刻画分布偏度	中文：k阶中心矩英文：k-th central moment

四、 抽样与估计符号

用于统计推断（从样本推断总体），核心是样本、估计量与置信区间。

符号	数学意义	实用举例	读音（中文+英文常用念法）
X_1,X_2,\dots,X_n	简单随机样本（n个独立同分布的随机变量，来自总体）	从全校学生中抽100人测身高：X_1,X_2,\dots,X_{100}（独立同分布）	中文：样本X₁到Xₙ英文：simple random sample X1 to Xn
\overline{X}（或\hat{\mu}）	样本均值（总体均值\mu的无偏估计，\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i）	样本X_1=170,X_2=175,X_3=180：\overline{X}=\frac{170+175+180}{3}=175	中文：样本均值X拔英文：sample mean / X-bar
S^2（或\hat{\sigma}^2）	样本方差（总体方差\sigma^2的无偏估计，S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2）	如上样本：S^2=\frac{(170-175)^2+(175-175)^2+(180-175)^2}{3-1}=25	中文：样本方差S平方英文：sample variance
S（或\hat{\sigma}）	样本标准差（样本方差的算术平方根）	如上样本：S=\sqrt{25}=5	中文：样本标准差S英文：sample standard deviation
\hat{\theta}（theta hat）	参数\theta的估计量（用于估计总体参数的样本函数）	总体均值\mu的估计量\hat{\mu}=\overline{X}；总体概率p的估计量\hat{p}=\frac{X}{n}（X为成功次数）	中文：theta的估计量英文：estimator of theta / theta hat
\hat{\theta}_n	基于样本量n的估计量	样本量n=100时，\hat{p}_n=\frac{X}{100}	中文：样本量n下theta的估计量英文：estimator of theta based on sample size n
[L,U]	参数\theta的置信区间（包含\theta的大概率区间，置信水平(1-\alpha)）	总体均值\mu的95%置信区间：[\overline{X}-1.96\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+1.96\frac{S}{\sqrt{n}}]	中文：theta的置信区间英文：confidence interval for theta
(1-\alpha)	置信水平（置信区间包含总体参数的概率）	95%置信水平（\alpha=0.05 ）；99%置信水平（\alpha=0.01）	中文：置信水平1减α英文：confidence level 1 minus alpha

五、 假设检验符号

用于判断“总体参数是否符合预期”，核心是假设、检验统计量与决策指标。

符号	数学意义	实用举例	读音（中文+英文常用念法）
H_0（null hypothesis）	原假设（待检验的默认假设，通常为“无差异”“无效应”）	检验总体均值是否为\mu_0：H_0:\mu=\mu_0；检验两总体方差相等：H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2	中文：原假设H零英文：null hypothesis H-naught
H_1（或H_a）	备择假设（与原假设对立的假设，通常为“有差异”“有效应”）	对应上例：H_1:\mu\neq\mu_0（双侧检验）；H_1:\mu>\mu_0（单侧检验）	中文：备择假设H一英文：alternative hypothesis H-one / H-a
T（或Z, \chi^2, F）	检验统计量（基于样本计算的统计量，用于判断是否拒绝H_0）	正态总体小样本均值检验：T=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)；大样本检验：Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}	中文：检验统计量T英文：test statistic T
\alpha（alpha）	显著性水平（拒绝H_0的临界概率，控制第一类错误概率）	常用\alpha=0.05（5%）；\alpha=0.01（1%）	中文：显著性水平α（ā lā fǎ）英文：significance level alpha
P-值（P-value）	观测到的样本结果支持H_1的证据强度（P\leq\alpha则拒绝H_0）	检验中P=0.03<0.05，拒绝H_0；P=0.06>0.05，不拒绝H_0	中文：P值英文：P-value
W（或C）	拒绝域（检验统计量的取值范围，落入则拒绝H_0）	t检验（\alpha=0.05，自由度9）：双侧拒绝域$	T
\beta（beta）	第二类错误概率（H_0为假时未拒绝H_0的概率）	功效$1-\beta=0.9$（90%的概率检测到真实差异）	中文：第二类错误概率β（bēi tǎ）英文：type II error probability beta
(1-\beta)	检验功效（H_0为假时拒绝H_0的概率，功效越高越好）	样本量越大，功效(1-\beta)越高	中文：检验功效英文：power of the test

六、 常用统计量与其他符号

涵盖多元统计、试验设计等领域的常用符号，满足进阶应用需求。

符号	数学意义	实用举例	读音（中文+英文常用念法）
X_{(1)}\leq X_{(2)}\leq\dots\leq X_{(n)}	顺序统计量（将样本按从小到大排序后的结果）	样本$3,1,4：顺序统计量X_{(1)}=1,X_{(2)}=3,X_{(3)}=4$	中文：顺序统计量英文：order statistics
Med(X)（或\tilde{X}）	样本中位数（中间位置的数值，抗极端值）	样本$1,3,4：Med(X)=3；样本$1,3,4,5：Med(X)=\frac{3+4}{2}=3.5	中文：样本中位数英文：sample median
F_n(x)	经验分布函数（基于样本的分布函数，F_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n I(X_i\leq x)，I为指示函数）	样本$1,3,4：F_n(2)=\frac{1}{3}（1个样本≤2）；F_n(3)=\frac{2}{3}$	中文：经验分布函数Fₙ(x)英文：empirical distribution function
\text{Corr}(X,Y)	相关矩阵（多元变量间的相关系数构成的矩阵）	变量X,Y,Z：\text{Corr}=\begin{pmatrix}1&\rho_{XY}&\rho_{XZ}\\\rho_{YX}&1&\rho_{YZ}\\\rho_{ZX}&\rho_{ZY}&1\end{pmatrix}	中文：相关矩阵英文：correlation matrix
ANOVA	方差分析（分析多个总体均值是否相等的方法）	单因素ANOVA（比较3个班级的平均成绩）；双因素ANOVA（考虑性别和年级对成绩的影响）	中文：方差分析英文：analysis of variance (ANOVA)
r^2（或R^2）	决定系数（回归模型中，因变量变异被自变量解释的比例，r^2\in[0,1]）	线性回归Y=a+bX，r^2=0.8（80%的Y变异可由X解释）	中文：决定系数r平方英文：coefficient of determination

七、 补充说明

1. 符号约定：随机变量用大写字母（X,Y），其取值用小写字母（x,y）；总体参数用希腊字母（\mu,\sigma），样本统计量用拉丁字母（\overline{X},S），是行业通用规范。
2. 易混淆符号区分：
   • 样本方差S^2与总体方差\sigma^2：样本方差分母为n-1（无偏估计），总体方差分母为N（总体容量）；
   • 概率质量函数p(x)（离散型）与概率密度函数f(x)（连续型）：离散型p(x)=P(X=x)，连续型f(x)需积分才得概率（P(a<X<b)=\int_a^b f(x)dx）；
   • 相关系数\rho与总体均值\mu：希腊字母不同，\rho刻画关联，\mu刻画平均水平。
3. 分布符号参数：多数分布符号的参数顺序有固定规则（如二项分布B(n,p)：试验次数在前，成功概率在后；正态分布N(\mu,\sigma^2)：均值在前，方差在后），不可随意调换。