数学第一章：认识数学符号③-函数与微积分符号

一、 函数基础符号

符号	数学意义	实用举例	读音（中文+英文常用念法）
y=f(x)	函数的基本表示，x 为自变量，y 为因变量，f 为对应法则	一次函数 f(x)=kx+b；二次函数 f(x)=ax^2+bx+c	中文：y 等于 f 关于 x 的函数英文：y equals f of x
f:A\to B	映射，表示函数 f 的定义域为集合 A，值域包含于集合 B	f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},f(x)=x^2（定义域、值域均为实数集）	中文：f 从 A 映射到 B英文：f maps A to B
D(f)	函数 f 的定义域（自变量 x 的取值范围）	f(x)=\sqrt{x}，则 D(f)=\{x\mid x\ge0\}	中文：f 的定义域英文：domain of f
R(f)	函数 f 的值域（因变量 y 的取值范围）	f(x)=x^2，则 R(f)=\{y\mid y\ge0\}	中文：f 的值域英文：range of f
f^{-1}(x)	函数 f(x) 的反函数（需满足一一映射）	f(x)=2x+1，则 f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}	中文：f 的逆函数关于 x英文：inverse function of f of x
f\circ g(x)	复合函数，即 f[g(x)]，先作用 g 再作用 f	f(x)=x^2，g(x)=x+1，则 f\circ g(x)=(x+1)^2	中文：f 复合 g 关于 x英文：f composed with g of x
$	f(x)	$	函数 f(x) 的绝对值函数
\max f(x)	函数 f(x) 在区间内的最大值	f(x)=-x^2+2，则 \max f(x)=2（x=0 时取得）	中文：f(x) 的最大值英文：maximum of f of x
\min f(x)	函数 f(x) 在区间内的最小值	f(x)=x^2+1，则 \min f(x)=1（x=0 时取得）	中文：f(x) 的最小值英文：minimum of f of x
C^n(I)	区间 I 上 n 阶连续可导的函数集合	f(x)=x^3\in C^\infty(\mathbb{R})（任意阶可导）	中文：区间 I 上的 n 阶连续可导函数空间英文：space of n-times continuously differentiable functions on I

二、 常见特殊函数符号

符号	数学意义	实用举例	读音（中文+英文常用念法）
x^\alpha	幂函数（\alpha 为常数）	\alpha=2 时为二次函数 y=x^2；\alpha=\frac{1}{2} 时为 y=\sqrt{x}	中文：x 的 \alpha 次方英文：x to the power of \alpha
a^x	指数函数（a>0,a\neq1）	a=2 时 y=2^x；a=\frac{1}{2} 时 y=\left(\frac{1}{2}\right)^x	中文：a 的 x 次方英文：a to the power of x
e^x/\exp(x)	自然指数函数（e\approx2.71828）	y=e^x，导数为自身：(e^x)'=e^x	中文：e 的 x 次方 / 指数函数 x英文：e to the x / exp of x
\log_a x	对数函数（底数 a>0,a\neq1）	a=10 时为常用对数 \lg x；a=2 时为 \log_2 x	中文：以 a 为底 x 的对数英文：log base a of x
\ln x	自然对数（底数为 e，即 \log_e x）	\ln e=1；\ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y	中文：自然对数 x英文：natural log of x
\sin x,\cos x,\tan x	正弦函数、余弦函数、正切函数	\sin\frac{\pi}{2}=1；\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}	中文：正弦 x、余弦 x、正切 x英文：sine x、cosine x、tangent x
\arcsin x,\arccos x,\arctan x	反正弦函数、反余弦函数、反正切函数	\arcsin 0=0；\arctan 1=\frac{\pi}{4}	中文：反正弦 x、反余弦 x、反正切 x英文：arcsine x、arccosine x、arctangent x
\sinh x,\cosh x	双曲正弦函数、双曲余弦函数	\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}；\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}	中文：双曲正弦 x、双曲余弦 x英文：hyperbolic sine x、hyperbolic cosine x
\delta(x)	狄拉克δ函数（广义函数）	\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)dx=1	中文：狄拉克δ函数英文：Dirac delta function

三、 极限与连续性符号

符号	数学意义	实用举例	读音（中文+英文常用念法）
\lim\limits_{x\to a}f(x)	当 x 趋近于 a 时 f(x) 的极限	\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2	中文：当 x 趋近于 a 时 f(x) 的极限英文：the limit of f of x as x approaches a
\lim\limits_{x\to a^+}f(x)	x 从右侧趋近于 a 的右极限	$f(x)=\frac{	x
\lim\limits_{x\to a^-}f(x)	x 从左侧趋近于 a 的左极限	$f(x)=\frac{	x
\lim\limits_{x\to\infty}f(x)	x 趋近于无穷大时 f(x) 的极限	\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0	中文：x 趋近于无穷大时 f(x) 的极限英文：the limit of f of x as x approaches infinity
f(x)\sim g(x)\ (x\to a)	x\to a 时 f(x) 与 g(x) 等价无穷小	x\to0 时，\sin x\sim x；\tan x\sim x	中文：x 趋近于 a 时 f(x) 等价于 g(x)英文：f of x is asymptotic to g of x as x approaches a
f(x)=o(g(x))\ (x\to a)	x\to a 时 f(x) 是 g(x) 的高阶无穷小	x\to0 时，x^2=o(x)	中文：x 趋近于 a 时 f(x) 是 g(x) 的小o英文：f of x is little o of g of x as x approaches a
f(x)=O(g(x))\ (x\to a)	x\to a 时 f(x) 是 g(x) 的同阶无穷小	x\to0 时，$2x=O(x)$	中文：x 趋近于 a 时 f(x) 是 g(x) 的大O英文：f of x is big O of g of x as x approaches a
f(x) 在 x=a 连续	\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)	f(x)=x^2 在 x=1 连续，\lim\limits_{x\to1}x^2=1=f(1)	中文：f(x) 在 x 等于 a 处连续英文：f of x is continuous at x equals a

四、 导数与微分符号

符号	数学意义	实用举例	读音（中文+英文常用念法）
f'(x)	函数 f(x) 的一阶导数（拉格朗日记号）	f(x)=x^3，则 f'(x)=3x^2	中文：f 撇 x / f 关于 x 的一阶导数英文：f prime of x
y'	因变量 y 关于自变量 x 的一阶导数	y=x^2，则 y'=2x	中文：y 撇英文：y prime
f''(x),f'''(x)	二阶导数、三阶导数	f(x)=x^3，f''(x)=6x；f'''(x)=6	中文：f 两撇 x、f 三撇 x英文：f double prime of x、f triple prime of x
f^{(n)}(x)	n 阶导数（n\ge4 时使用）	f(x)=e^x，则 f^{(n)}(x)=e^x	中文：f 的 n 阶导数关于 x英文：n-th derivative of f of x
\frac{dy}{dx}	一阶导数（莱布尼茨记号，微分形式）	y=x^2，则 \frac{dy}{dx}=2x	中文：dy 比 dx英文：dy over dx
\frac{d^n y}{dx^n}	n 阶导数（莱布尼茨记号）	y=e^x，则 \frac{d^n y}{dx^n}=e^x	中文：d n 次方 y 比 dx n 次方英文：d n-th y over dx to the n
\dot{y},\ddot{y}	一阶、二阶导数（牛顿记号，物理常用）	位移 s(t)，速度 v=\dot{s}，加速度 a=\ddot{s}	中文：y 点、y 两点英文：dot y、double dot y
\frac{\partial y}{\partial x}	多元函数对 x 的偏导数	z=x^2+y，则 \frac{\partial z}{\partial x}=2x	中文：偏 z 比偏 x英文：partial z over partial x
dy	函数 y=f(x) 的微分（dy=f'(x)dx）	y=x^2，则 dy=2x dx	中文：微分 y英文：differential y
dx	自变量 x 的微分	\Delta x\to0 时，\Delta x\approx dx	中文：微分 x英文：differential x
\nabla f	多元函数 f 的梯度（向量）	f(x,y)=x^2+y^2，则 \nabla f=(2x,2y)	中文：梯度 f / 纳布拉 f英文：gradient of f / nabla f

五、 积分符号

符号	数学意义	实用举例	读音（中文+英文常用念法）
\int f(x)dx	f(x) 的不定积分（原函数族）	\int 2x dx=x^2+C（C 为积分常数）	中文：积分 f(x)dx英文：the integral of f of x dx
\int_{a}^{b}f(x)dx	f(x) 在区间 [a,b] 上的定积分	\int_{0}^{1}x dx=\frac{1}{2}	中文：从 a 到 b 积分 f(x)dx英文：the definite integral of f of x from a to b
\int_{a}^{+\infty}f(x)dx	无穷限反常积分（上限无穷）	\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx=1	中文：从 a 到正无穷积分 f(x)dx英文：the improper integral of f of x from a to infinity
\int_{-\infty}^{b}f(x)dx	无穷限反常积分（下限无穷）	\int_{-\infty}^{0}e^x dx=1	中文：从负无穷到 b 积分 f(x)dx英文：the improper integral of f of x from negative infinity to b
\iint_D f(x,y)d\sigma	平面区域 D 上的二重积分	D:0\le x\le1,0\le y\le1，\iint_D 1 d\sigma=1	中文：区域 D 上二重积分 f(x,y)d\sigma英文：the double integral of f of x y over region D
\iiint_\Omega f(x,y,z)dv	空间区域 \Omega 上的三重积分	\Omega:0\le x,y,z\le1，\iiint_\Omega 1 dv=1	中文：区域 \Omega 上三重积分 f(x,y,z)dv英文：the triple integral of f of x y z over region \Omega
\int_L f(x,y)ds	曲线 L 上的第一类曲线积分（对弧长）	L 为 x+y=1，则 \int_L ds=\sqrt{2}	中文：曲线 L 上积分 f(x,y)ds英文：the line integral of f of x y over curve L
\int_L Pdx+Qdy	曲线 L 上的第二类曲线积分（对坐标）	L:y=x^2，\int_L x dy=\int_{0}^{1}x\cdot 2x dx=\frac{2}{3}	中文：曲线 L 上积分 Pdx 加 Qdy英文：the line integral of P dx plus Q dy over curve L
\iint_\Sigma f(x,y,z)dS	曲面 \Sigma 上的第一类曲面积分	\Sigma 为平面 z=0，\iint_\Sigma dS= 投影面积	中文：曲面 \Sigma 上积分 f(x,y,z)dS英文：the surface integral of f over surface \Sigma
\oint_L f(x,y)ds	闭合曲线 L 上的积分	圆 L:x^2+y^2=1，\oint_L ds=2\pi	中文：闭合曲线 L 上的环路积分英文：the contour integral of f over closed curve L

六、 级数符号

符号	数学意义	实用举例	读音（中文+英文常用念法）
\sum_{n=1}^{\infty}u_n	无穷级数（通项为 u_n）	\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots（调和级数）	中文：从 n 等于1到无穷求和 u_n英文：the sum from n equals 1 to infinity of u_n
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}	幂级数（泰勒级数）	e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}	中文：从 n 等于0到无穷求和 x 的 n 次方比 n 阶乘英文：the power series sum from n equals 0 to infinity of x^n over n factorial
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n	交错级数	\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}（收敛）	中文：交错级数求和英文：the alternating series sum

七、 补充说明

1. 导数记号区别：f'(x) 适合单变量函数；\frac{\partial f}{\partial x} 专用于多元函数偏导；\dot{y} 多用于物理运动学。
2. 定积分与不定积分区别：不定积分是原函数族（含常数 C）；定积分是数值（面积、体积等物理量）。
3. 反常积分：积分区间无穷或被积函数无界时使用，需判断收敛性。

📌 重点都标出来了，太贴心了吧！

👍楼主太有才了，点赞一下