数学第一章：认识数学符号②-集合与逻辑符号

一、 集合符号

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符号	数学意义	实用举例	读音（中文+英文常用念法）
\{\ \}	集合的表示符号，用于列举或描述集合元素	列举法：\{1,2,3\}；描述法：\{x\mid x>0,x\in\mathbb{Z}\}	中文：大括号英文：braces
\mathbb{N}	自然数集（通常包含 $0$，\mathbb{N}^* 表示正自然数集）	\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}	中文：自然数集英文：set of natural numbers，符号念“N”
\mathbb{Z}	整数集	\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}	中文：整数集英文：set of integers，符号念“Z”
\mathbb{Q}	有理数集	\mathbb{Q}=\{x\mid x=\frac{p}{q},p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{N}^*,p与q互质\}	中文：有理数集英文：set of rational numbers，符号念“Q”
\mathbb{R}	实数集	\sqrt{2}\in\mathbb{R},\ \pi\in\mathbb{R}	中文：实数集英文：set of real numbers，符号念“R”
\mathbb{C}	复数集	\mathbb{C}=\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{R},i^2=-1\}	中文：复数集英文：set of complex numbers，符号念“C”
\in	元素属于集合	$2\in\mathbb{N},\ \sqrt{2}\in\mathbb{R}$	中文：属于英文：belongs to
\notin	元素不属于集合	\sqrt{2}\notin\mathbb{Q},\ -1\notin\mathbb{N}^*	中文：不属于英文：does not belong to
\emptyset	空集（不含任何元素的集合）	\{x\mid x^2=-1,x\in\mathbb{R}\}=\emptyset	中文：空集英文：empty set / null set
\subseteq	子集（A 所有元素在 B 中，允许 A=B）	\{1,2\}\subseteq\{1,2,3\},\ \emptyset\subseteq 任意集合	中文：包含于 / 子集英文：is a subset of
\subsetneqq	真子集（A\subseteq B 且 A\neq B）	\{1,2\}\subsetneqq\{1,2,3\},\ \mathbb{N}\subsetneqq\mathbb{Z}	中文：真包含于 / 真子集英文：is a proper subset of
\supseteq	超集（A\subseteq B 的逆关系）	\{1,2,3\}\supseteq\{1,2\}	中文：包含 / 超集英文：is a superset of
\supsetneqq	真超集（A\supseteq B 且 A\neq B）	\mathbb{Z}\supsetneqq\mathbb{N}	中文：真包含 / 真超集英文：is a proper superset of
=	集合相等（元素完全相同）	\{x\mid x^2=4\}=\{2,-2\}	中文：等于英文：equals
\cup	并集（属于 A 或 B 的元素集合）	A=\{1,2\},B=\{2,3\}\Rightarrow A\cup B=\{1,2,3\}	中文：并 / 并集英文：union
\cap	交集（属于 A 且 B 的元素集合）	A=\{1,2\},B=\{2,3\}\Rightarrow A\cap B=\{2\}	中文：交 / 交集英文：intersection
A\setminus B（或 A-B）	差集（属于 A 但不属于 B 的元素集合）	A=\{1,2,3\},B=\{2\}\Rightarrow A\setminus B=\{1,3\}	中文：A减B / A与B的差集英文：set difference of A and B
\complement_{U}A	补集（全集 U 中不属于 A 的元素集合）	U=\mathbb{Z},A=\{x\mid x>0\}\Rightarrow\complement_{U}A=\{x\mid x\le0\}	中文：全集U中A的补集英文：complement of A in U
A\times B	笛卡尔积（有序对组成的集合）	A=\{1,2\},B=\{a,b\}\Rightarrow A\times B=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)\}	中文：A与B的笛卡尔积英文：Cartesian product of A and B

二、 逻辑符号

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符号	数学意义	实用举例	读音（中文+英文常用念法）
P,Q,R	命题变元（可判断真假的陈述句）	P：$2$ 是偶数；Q：$3>5$	中文：命题P/命题Q英文：proposition P / proposition Q
\neg	否定联结词（“非”）	P：$2$ 是偶数，\neg P：$2$ 不是偶数	中文：非英文：negation / not
\land	合取联结词（“且”，同真才真）	P：$1<2，Q：$2<3，P\land Q 为真	中文：且 / 合取英文：conjunction / and
\lor	析取联结词（“或”，一真则真）	P：$1>2，Q：$2<3，P\lor Q 为真	中文：或 / 析取英文：disjunction / or
\rightarrow	蕴含联结词（“若…则…”）	P：x>2，Q：x>1，P\rightarrow Q 为真	中文：蕴含 / 若…则…英文：implication / if...then...
\leftrightarrow	等价联结词（“当且仅当”）	P：x 是偶数，Q：x 能被2整除，P\leftrightarrow Q 为真	中文：等价于 / 当且仅当英文：equivalence / if and only if（iff）
\forall	全称量词（“对所有”）	\forall x\in\mathbb{R},x^2\ge0	中文：对任意 / 对所有英文：universal quantifier / for all
\exists	存在量词（“存在”）	\exists x\in\mathbb{Z},x^2=4	中文：存在英文：existential quantifier / there exists
\exists!	唯一存在量词（“存在唯一”）	\exists!x\in\mathbb{R},2x=4	中文：存在唯一英文：unique existential quantifier / there exists uniquely
\Rightarrow	推导符号（“推出”）	x>3\Rightarrow x>2	中文：推出英文：implies
\Leftrightarrow	等价推导符号（“等价于”）	x^2=1\Leftrightarrow x=\pm1	中文：等价于英文：if and only if / is equivalent to
\vdash	形式证明符号（“可证”）	A\vdash B（B 可由 A 证明）	中文：可证 / 断定英文：proves / syntactically entails
\models	满足符号（“模型满足”）	\mathbb{R}\models\forall x(x^2\ge0)	中文：满足 / 模型满足英文：satisfies / semantically entails

三、 补充说明

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1. 符号的英文念法多用于国际教材或学术交流，中文读音更适合日常课堂表述。
2. 部分符号有简化读法，例如 \complement_{U}A 日常可直接读“A 的补集”，前提是上下文明确全集 U。