大地测量基础理论详解

目录

1. 引言
2. 大地测量核心概念
3. 地球形状与椭球参数
4. 控制测量核心理论
5. GNSS大地测量基础
6. 关键公式与参数解析
7. 实际操作案例
8. 大地测量应用原则
9. 总结

1. 引言

大地测量是测绘学科的基础与核心，核心任务是建立和维持统一的大地基准（平面基准、高程基准、重力基准），为各类测绘工作（地形图测绘、工程测量、导航定位等）提供高精度的空间参考框架。其显著特点是覆盖范围广、精度要求高、观测环境复杂，涉及地球形状、椭球模型、控制网布设、卫星定位等多方面理论与技术。

大地测量的核心价值在于：通过精确测定地面点的三维空间位置，衔接局部测量与全球参考系统，确保不同区域、不同时期的测绘成果具有统一性和可比性。本文档将系统讲解大地测量的基础理论、核心公式、实操案例及应用场景，全面覆盖关键知识点。

2. 大地测量核心概念

2.1 大地测量的三大基准

• 大地基准：以地球椭球为基础建立的平面坐标基准，用于描述地面点的水平位置（如CGCS2000大地坐标系）。
• 高程基准：以大地水准面或似大地水准面为基础建立的垂直基准，用于描述地面点的高程（如1985国家高程基准）。
• 重力基准：以重力加速度为参考的基准，用于重力测量和高程异常计算（如2000国家重力基准）。

2.2 核心术语定义

• 大地水准面：平均海水面延伸至大陆内部形成的闭合曲面，是绝对高程的天然基准，处处与重力方向（铅垂线）垂直。
• 似大地水准面：为解决大地水准面不规则问题，通过数学模型构建的平滑曲面，是我国正常高系统的基准面。
• 地球椭球：对地球形状的数学近似，是大地测量计算的基础模型，由长半轴、短半轴、扁率等参数定义。
• 控制网：由一系列高精度控制点组成的网状结构，分为平面控制网（测定水平位置）和高程控制网（测定高程）。
• 控制点：具有精确坐标和高程的固定点，作为后续测量工作的参考基准。

3. 地球形状与椭球参数

3.1 地球形状的近似模型

地球是一个“两极稍扁、赤道略鼓”的不规则旋转椭球体，大地测量中采用三级近似模型：

1. 大地体：由大地水准面包围的地球形体，是地球的物理形状，不规则但符合重力场特性。
2. 地球椭球：与大地体最佳拟合的旋转椭球（数学曲面），是大地测量计算的基准。
3. 参考椭球：为特定区域（如一个国家）定制的地球椭球，确保该区域内椭球面与大地水准面拟合最优（如我国CGCS2000参考椭球）。

3.2 地球椭球核心参数

地球椭球由以下关键参数定义，各参数间存在固定数学关系：

• 长半轴（a）：椭球赤道半径，是最核心的参数。
• 短半轴（b）：椭球极半径。
• 扁率（\alpha）：描述椭球扁平程度，\alpha = \frac{a - b}{a}。
• 第一偏心率（e）：e = \sqrt{\frac{a^2 - b^2}{a^2}}，反映椭球的椭圆特性。
• 第二偏心率（e'）：e' = \sqrt{\frac{a^2 - b^2}{b^2}}，与第一偏心率配套使用。

3.3 我国常用参考椭球参数

椭球名称	长半轴a（m）	短半轴b（m）	扁率\alpha	适用坐标系
克拉索夫斯基椭球	6378245.0	6356863.0188	1/298.3	1954北京坐标系
IAG75椭球	6378140.0	6356755.2882	1/298.257	1980西安坐标系
CGCS2000椭球	6378137.0	6356752.3141	1/298.257222101	CGCS2000坐标系
WGS-84椭球	6378137.0	6356752.3142	1/298.257223563	GPS全球定位系统

关键说明：CGCS2000椭球与WGS-84椭球参数几乎一致，二者坐标转换误差可忽略（小于1cm），这是GPS数据直接转换为CGCS2000坐标的基础。

4. 控制测量核心理论

控制测量是大地测量的核心应用，通过布设控制网实现“由整体到局部、由高级到低级、逐级控制”的测量原则，为后续测绘工作提供基准。

4.1 控制网的分类与布设原则

4.1.1 分类

• 按测量内容：平面控制网（测定控制点的大地坐标B,L或平面直角坐标x,y）、高程控制网（测定控制点的高程H）。
• 按精度等级：
  • 平面控制网：国家一等、二等、三等、四等控制网；城市一、二、三级控制网。
  • 高程控制网：国家一等、二等、三等、四等水准网；等外水准网（图根水准）。
• 按布设方式：三角网、导线网、GNSS网（平面控制）；水准网、三角高程网（高程控制）。

4.1.2 布设原则

1. 整体控制原则：先布设覆盖大范围的高级控制网，再在其基础上布设低级控制网。
2. 精度匹配原则：控制网精度需与后续测量工作精度匹配（如1:1万地形图测量需采用三等及以上控制网）。
3. 密度合理原则：控制点密度需满足后续测量的加密需求，避免过疏或过密（如四等平面控制点间距约5~10km）。
4. 稳定可靠原则：控制点需选在地质稳定、不易被破坏、视野开阔的位置，便于观测和使用。

4.2 平面控制网核心技术

4.2.1 三角网

• 原理：以三角形为基本单元，通过观测三角形的内角和边长，利用三角形边角关系推算控制点坐标。
• 核心特性：图形强度高、抗误差能力强，适合地形复杂、通视条件好的区域（如山区）。
• 关键观测要素：水平角（测角三角网）、边长（测边三角网）、水平角+边长（边角网）。

4.2.2 导线网

• 原理：由一系列折线组成，折线的转折点为控制点，通过观测导线的转折角和边长，推算控制点坐标。
• 核心特性：布设灵活、通视要求低，适合城市、厂区等建筑物密集的区域。
• 常见类型：闭合导线（起点与终点重合）、附合导线（起点和终点为已知控制点）、支导线（仅一端为已知控制点）。

4.2.3 GNSS网

• 原理：利用全球导航卫星系统（北斗、GPS、GLONASS等），通过观测卫星信号，直接测定控制点的三维坐标。
• 核心特性：精度高、覆盖范围广、无需通视、观测效率高，是目前主流的平面控制网布设方式。
• 布设等级：国家GNSS一等、二等、三等、四等网；城市GNSS控制网。

4.3 高程控制网核心技术

4.3.1 水准测量

• 原理：利用水准仪提供的水平视线，测定地面两点间的高差，进而推算高程。
• 核心特性：精度高、系统性强，是高程控制网的主要布设方式（国家一、二等水准网为高程基准的核心）。
• 等级划分与精度指标：

  水准等级	每公里高差中误差（mm）	适用场景
  一等	≤±0.5	国家高程基准建立、科研
  二等	≤±1.0	区域高程控制骨干
  三等	≤±3.0	地形图测绘、工程测量
  四等	≤±5.0	小型工程、图根控制加密

4.3.2 三角高程测量

• 原理：通过观测两点间的水平距离和垂直角（竖直角），利用三角学原理计算两点间高差，进而推算高程。
• 核心特性：操作简便、速度快，适合地形复杂、水准测量难以实施的区域（如山区），可作为水准测量的补充。
• 精度影响因素：水平距离测量精度、垂直角观测精度、大气折光影响、地球曲率影响。

5. GNSS大地测量基础

GNSS（全球导航卫星系统）是现代大地测量的核心技术，彻底改变了传统控制测量的模式，实现了高精度、高效率的三维定位。

5.1 GNSS系统组成

• 空间段：卫星星座（如北斗系统有35颗卫星，GPS有24颗卫星），负责发射导航信号（包含卫星位置、时间信息）。
• 地面段：由主控站、监测站、注入站组成，负责监测卫星运行状态、修正卫星轨道和钟差，保障系统精度。
• 用户段：GNSS接收机及数据处理软件，负责接收卫星信号，解算用户坐标。

5.2 GNSS定位原理

5.2.1 定位基本逻辑

GNSS定位的本质是“距离交会”：接收机同时接收至少4颗卫星的信号，测量接收机到每颗卫星的距离（伪距或载波相位），结合卫星的已知位置，通过空间几何关系解算接收机的三维坐标（X,Y,Z）。

5.2.2 两种核心定位方式

定位方式	原理	精度（平面）	适用场景
伪距定位	测量卫星信号传播的时间延迟，计算伪距（含误差）	米级（单点定位）	导航、低精度测量
载波相位定位	测量卫星载波信号与接收机本地载波的相位差	毫米级~厘米级（相对定位）	控制测量、高精度工程测量

5.2.3 单点定位与相对定位

• 单点定位：仅用一台接收机独立解算坐标，精度较低（GPS单点定位约±5m），适合快速获取粗略位置。
• 相对定位：两台或多台接收机同时观测同一组卫星，解算接收机间的相对位置（基线向量），再结合已知点坐标推算未知点坐标，精度高（基线解算精度可达±(2mm+1ppm×基线长度)），是控制测量的主流方式。

6. 关键公式与参数解析

6.1 椭球核心参数关系公式

6.1.1 扁率与偏心率关系

\alpha = 1 - \frac{b}{a}

e^2 = \frac{a^2 - b^2}{a^2} = 2\alpha - \alpha^2

e'^2 = \frac{a^2 - b^2}{b^2} = \frac{e^2}{1 - e^2}

参数说明：

• a：椭球长半轴（m）；
• b：椭球短半轴（m）；
• \alpha：椭球扁率（无量纲）；
• e：第一偏心率（无量纲）；
• e'：第二偏心率（无量纲）。

6.1.2 大地坐标与空间直角坐标转换

大地坐标（B,L,H）是椭球面上的坐标，空间直角坐标（X,Y,Z）是以椭球中心为原点的三维直角坐标，二者可相互转换：

1. 大地坐标→空间直角坐标：

X = (N + H) \cos B \cos L

Y = (N + H) \cos B \sin L

Z = (N(1 - e^2) + H) \sin B

2. 空间直角坐标→大地坐标（迭代求解）：

L = \arctan\left( \frac{Y}{X} \right)

B = \arctan\left( \frac{Z + N e^2 \sin B}{ \sqrt{X^2 + Y^2} } \right)

H = \frac{\sqrt{X^2 + Y^2}}{\cos B} - N

其中，N = \frac{a}{\sqrt{1 - e^2 \sin^2 B}}（椭球卯酉圈曲率半径，m）。

参数说明：

• B：大地纬度（°），北半球为正；
• L：大地经度（°），东经为正；
• H：大地高（m），沿椭球法线到椭球面的距离；
• X,Y,Z：空间直角坐标（m），X轴指向本初子午面与赤道面交点，Z轴指向地球北极；
• N：卯酉圈曲率半径（m），随纬度B变化（赤道处最大，极点处与子午圈曲率半径相等）。

6.2 水准测量高差与高程计算

6.2.1 高差计算公式

h_{AB} = a_A - b_B

参数说明：

• h_{AB}：A点到B点的高差（m），正表示B点高于A点；
• a_A：A点的后视读数（m），水准仪瞄准A点水准尺的读数；
• b_B：B点的前视读数（m），水准仪瞄准B点水准尺的读数。

6.2.2 高程推算公式

H_B = H_A + h_{AB}

参数说明：

• H_A：A点的已知高程（m）；
• H_B：B点的未知高程（m）。

6.3 三角高程测量高差公式

h_{AB} = S_{AB} \tan \alpha_{AB} + \frac{S_{AB}^2}{2R} - i_A + v_B

参数说明：

• h_{AB}：A点到B点的高差（m）；
• S_{AB}：A、B两点间的水平距离（m）；
• \alpha_{AB}：A点观测B点的垂直角（°）；
• R：地球曲率半径（m），取6371km；
• i_A：仪器高（m），仪器中心到A点地面的高度；
• v_B：目标高（m），水准尺零点到B点地面的高度；
• \frac{S_{AB}^2}{2R}：地球曲率改正项（通常与大气折光改正合并为“两差改正”）。

6.4 GNSS相对定位基线向量解算核心公式

GNSS相对定位中，通过载波相位观测值解算基线向量（\Delta X, \Delta Y, \Delta Z），核心观测方程：

\lambda \Phi_{ij}^k = \rho_{ij}^k + c(\delta t_i - \delta t_j) + \lambda N_{ij}^k + \varepsilon_{ij}^k

参数说明：

• \lambda：卫星载波波长（m），如GPS L1载波波长约0.19m；
• \Phi_{ij}^k：接收机i、j观测卫星k的载波相位差（周）；
• \rho_{ij}^k：卫星k到接收机i、j的距离差（m）；
• c：光速（m/s），取$3×10^8$m/s；
• \delta t_i, \delta t_j：接收机i、j的钟差（s）；
• N_{ij}^k：整周模糊度（周），载波相位观测的整数部分；
• \varepsilon_{ij}^k：观测误差（m），含大气延迟、多路径效应等。

7. 实际操作案例

案例1：GNSS静态控制网布设与数据处理（城市三级控制网）

已知条件

某城市新区需布设三级GNSS控制网，覆盖面积约50km²，需满足1:1000地形图测绘精度要求（平面点位中误差≤±5cm），已知2个CGCS2000坐标系的高级控制点（A点：X=3856212.345m，Y=512345.678m，Z=123.456m；B点：X=3857123.456m，Y=513456.789m，Z=125.678m）。

需求

布设6个GNSS控制点（C1~C6），通过静态观测解算其CGCS2000三维坐标。

操作步骤

1. 选点与埋石：

   • 选点要求：视野开阔，避开树木、建筑物遮挡；远离高压线、无线电发射塔（距离≥200m）；地质稳定，便于长期保存。
   • 埋石：采用混凝土标石，标石中心嵌入不锈钢标志，顶部刻十字线（中心点为控制点实际位置），埋深≥0.8m（冻土层以下）。

2. 观测方案设计：

   • 仪器：采用4台双频GNSS接收机（静态测量精度：±(2mm+1ppm×基线长度)）。
   • 观测时段：每个基线观测1个时段，时段长度≥60分钟（三级控制网要求）。
   • 观测要求：采样间隔10s，卫星高度角≥15°，有效观测卫星数≥4颗。
   • 网形设计：采用边连接方式，确保每个控制点至少与2个其他控制点形成基线，已知点A、B与未知点形成闭合网。

3. 外业观测：

   • 安置仪器：将接收机架设在标石上，对中误差≤2mm，整平误差≤10″。
   • 设置参数：输入测站名、观测员、仪器号、采样间隔、高度角限值等。
   • 观测记录：仪器自动记录卫星信号数据（格式为RINEX），观测结束后填写观测手簿（天气、仪器状态、观测时段等）。

4. 内业数据处理（使用Trimble Business Center TGO软件）：

   • 数据导入：导入所有接收机的RINEX数据，核对测站名、观测时段、卫星数量。
   • 基线解算：选择“双频载波相位解算”，设置解算参数（卫星高度角≥15°，历元间隔10s），解算所有基线向量。
     • 基线质量检核：基线向量残差≤3cm，基线长度相对中误差≤1/50000。
   • 网平差：
     • 选择“三维约束平差”，输入已知点A、B的CGCS2000坐标作为约束条件。
     • 平差结果检核：控制点平面点位中误差≤±3cm，高程中误差≤±5cm（满足三级控制网要求）。
   • 输出成果：解算得到C1~C6的CGCS2000三维坐标（X,Y,Z）及精度指标。

结果示例

控制点	X（m）	Y（m）	Z（m）	平面中误差（cm）	高程中误差（cm）
C1	3856543.218	512678.901	124.567	±2.3	±3.5
C2	3856876.543	512901.234	126.789	±2.1	±3.2

案例2：二等水准测量实操（区域高程控制）

已知条件

某区域需布设二等水准网，作为城市高程控制骨干，已知起算点为国家二等水准点M（H_M=156.789m），布设3条附合水准路线，总长约30km。

需求

完成水准测量外业观测与内业平差，获取各未知控制点的高程，满足二等水准精度要求（每公里高差中误差≤±1.0mm）。

操作步骤

1. 仪器准备：

   • 仪器：DS05级水准仪（每公里往返高差中误差≤±0.5mm），配套因瓦水准尺（分划值1cm）。
   • 仪器校准：观测前校准水准仪i角（≤15″）、水准尺分划误差（≤0.1mm）。

2. 外业观测：

   • 观测方法：采用“后-前-前-后”观测顺序（抵消仪器i角误差和地球曲率影响）。
   • 观测要求：
     • 视距长度：≤50m，前后视距差≤1m，累计视距差≤3m。
     • 读数精度：水准尺读数估读到0.1mm。
     • 往返观测：每条水准路线需进行往返观测（往测和返测），往返观测方向相反。
   • 记录方式：采用电子手簿记录，自动计算高差和闭合差，避免人工计算错误。

3. 外业数据检核：

   • 测段往返高差不符值：≤±4\sqrt{L} mm（L为测段长度，km）。
   • 路线闭合差：≤±4\sqrt{L} mm（附合水准路线）。
   • 检核不合格时，需重新观测该测段。

4. 内业平差（使用南方CASS 10.0软件）：

   • 数据导入：导入电子手簿中的观测数据（高差、测段长度、往返观测结果）。
   • 高差改正：计算水准路线的长度加权改正数（二等水准网采用按测段长度比例分配闭合差）。
   • 平差计算：采用间接观测平差，解算各未知控制点的高程。
   • 精度评定：计算每公里高差中误差，确保≤±1.0mm。

结果说明

通过平差计算，得到各未知控制点的高程精度均满足二等水准要求，可作为该区域后续地形图测绘、工程建设的高程基准。

案例3：三角高程测量在山区的应用

已知条件

某山区公路勘察，因地形陡峭无法实施水准测量，采用三角高程测量推算2个控制点（P1、P2）的高程。已知P1点高程H_{P1}=235.678m，用全站仪观测得到：

• P1-P2水平距离S=856.34m（经气象改正和倾斜改正后）；
• P1观测P2的垂直角\alpha=+3°25′12″；
• 仪器高i=1.567m；
• 目标高v=2.000m。

需求

计算P2点的高程，考虑地球曲率和大气折光改正（取折光系数K=0.13）。

操作步骤

1. 单位转换：将垂直角转换为弧度：

\alpha = 3°25′12″ = 3 + \frac{25}{60} + \frac{12}{3600} = 3.42°

\alpha_{rad} = 3.42 × \frac{\pi}{180} ≈ 0.0597\ \text{rad}

2. 计算两差改正项：
   地球曲率改正C = \frac{S^2}{2R}，大气折光改正r = -K \frac{S^2}{2R}，合并为：

f = C + r = (1 - K) \frac{S^2}{2R}

代入数据：K=0.13，S=856.34m，R=6371000m：

f = (1 - 0.13) × \frac{856.34^2}{2×6371000} ≈ 0.87 × \frac{733317.19}{12742000} ≈ 0.049\ \text{m}

3. 计算高差：

h_{P1P2} = S \tan \alpha + f - i + v

代入数据：

\tan \alpha = \tan 3.42° ≈ 0.0598

h_{P1P2} = 856.34×0.0598 + 0.049 - 1.567 + 2.000 ≈ 51.21 + 0.049 - 1.567 + 2.000 ≈ 51.692\ \text{m}

4. 推算P2点高程：

H_{P2} = H_{P1} + h_{P1P2} = 235.678 + 51.692 = 287.370\ \text{m}

结果说明

考虑地球曲率和大气折光改正后，P2点高程为287.370m，精度可达±5cm（满足山区公路勘察的高程要求），比不考虑改正项的结果（287.321m）更准确。

8. 大地测量应用原则

1. 基准统一原则：同一项目必须采用统一的坐标系和高程基准（如我国现行采用CGCS2000坐标系和1985国家高程基准），避免成果冲突。
2. 精度匹配原则：控制网精度需与后续工作需求匹配（如高精度工程测量需采用二等及以上控制网，普通地形测量采用三、四等控制网）。
3. 网形优化原则：控制网图形需具备足够的强度（如GNSS网每个点至少连接2条独立基线，导线网闭合导线比例不低于30%），确保抗误差能力。
4. 数据检核原则：外业观测数据需进行实时检核（如水准测量测段往返不符值、GNSS基线残差），内业平差后需验证成果合理性（如点位中误差、闭合差）。
5. 长期稳定原则：控制点选址需考虑长期稳定性，避免在易淹没、易滑坡、施工区域布设，标石需采用耐久性材料，确保长期可用。

9. 总结

大地测量的核心逻辑是“建立基准-布设控制-精确测量-数据处理”，其本质是为各类测绘工作提供统一、高精度的空间参考框架。地球椭球是大地测量的数学基础，控制网是基准实施的载体，GNSS技术、水准测量、三角测量是实现高精度定位的核心手段。

在实际应用中，需根据项目范围、地形条件、精度要求选择合适的技术方案：城市区域优先采用GNSS网和导线网，山区可采用三角网和三角高程测量，高程基准建立必须依赖高精度水准测量。同时，严格遵循基准统一、精度匹配、数据检核等原则，确保测量成果的准确性和可靠性。