基本概念
什么是拉格朗日力学？
拉格朗日力学是由约瑟夫-路易斯·拉格朗日在1788年提出的经典力学的重新表述。 它提供了牛顿力学的替代方法，侧重于能量而非力。
其核心思想是使用拉格朗日量（记为L）来描述系统，拉格朗日量定义为系统的动能（T）与势能（V）之差：
L = T - V
通过最小化拉格朗日量对时间的积分（作用量），我们可以推导出系统的运动方程。
广义坐标
拉格朗日力学不使用笛卡尔坐标，而是采用广义坐标（q₁, q₂, ..., qₙ）来描述系统的配置，这简化了复杂问题的求解。
作用量原理
系统的运动遵循使作用量（S）最小化的路径，作用量定义为拉格朗日量从初始状态到最终状态对时间的积分。
S = ∫L dt
拉格朗日方程
欧拉-拉格朗日方程
拉格朗日力学的基本方程是欧拉-拉格朗日方程，它用广义坐标描述系统的运动：
其中：
- qᵢ 是第i个广义坐标
- ẋᵢ 是qᵢ对时间的导数（广义速度）
- ∂L/∂qᵢ 是L对qᵢ的偏导数
- d/dt (∂L/∂ẋᵢ) 是L对ẋᵢ的偏导数对时间的全导数
对于每个广义坐标qᵢ，都有一个相应的欧拉-拉格朗日方程，提供了系统动力学的完整描述。
推导步骤
从作用量原理出发
系统所走的路径使作用量最小：δS = 0
用拉格朗日量表示作用量
δ∫L(qᵢ, ẋᵢ, t)dt = 0
应用变分法
进行变分并分部积分
推导出欧拉-拉格朗日方程
得到基本的运动方程
应用实例
单摆
单摆由一个质量为m的质点通过长度为l的无质量绳悬挂在重力场g中组成。
步骤1：选择广义坐标
θ（与竖直方向的夹角）
步骤2：计算动能（T）
步骤3：计算势能（V）
步骤4：构造拉格朗日量 L = T - V
步骤5：应用欧拉-拉格朗日方程
结果：运动方程
简谐振荡器
一个质量为m的物体连接在劲度系数为k的弹簧上，做一维运动。
步骤1：选择广义坐标
x（相对于平衡位置的位移）
步骤2：计算动能（T）
步骤3：计算势能（V）
步骤4：构造拉格朗日量 L = T - V
步骤5：应用欧拉-拉格朗日方程
结果：运动方程
交互式模拟
单摆模拟
简谐振荡器
拉格朗日计算器
计算简单系统的拉格朗日量并推导运动方程。 选择系统类型并输入参数以查看结果。